QUEBRA-CABEÇAS DE METAL (PUZZLES EM METAL)

Extraido de www.matematica.no.sapo.pt estes puzzles, como são chamados os quebra-cabeças, fascinam pela quase impossibilidade de solução. Apresento o texto que extrair, na íntegra e sem a devida permissão de seus autores, do site mensionado e espero que se divirtam com tantas variedades de puzzles.

"Apresentação dos puzzles em metal "

Quem alguma vez teve que deslocar uma mesa de uma casa para outra ou ao longo de um corredor, sabe que o espaço tridimensional reserva algumas surpresas que quotidianamente passam despercebidas. Estas surpresas são bem conhecidas dos "viciados" na resolução/construção de puzzles de metal.

Estes antigos ( e sempre atuais ) jogos artesanais consistem numa estrutura composta por duas ou mais peças de metal (fig. 1). Deste conjunto de peças entrelaçadas, o jogador deve separar uma delas - a peça problema - do resto do conjunto - a estrutura suporte - sem fazer deformações ou cortes.
A primeira impressão que temos quando confrontados com um puzzle de metal parece indicar que a peça problema não poderá sair da estrutura suporte por se encontrar encerrada, mas a solução destes jogos não encerra qualquer segredo ou arte mágica: trata-se apenas de encontrar o caminho de saída que deve ser percorrido pela peça problema ao longo da estrutura suporte.
No entanto, a busca desse caminho põe o jogador frente a desconcertantes problemas relacionados com o espaço tridimensional nos quais nunca havia reparado.
A melhor forma de encarar estes problemas é de uma forma lúdica: experimentar até encontrar a solução. Durante as primeiras tentativas o jogador pode ser confrontado com a solução de uma forma totalmente casual e inadvertida, sem compreender como conseguiu soltar a peça problema e sem saber como voltar à posição inicial recolocando a peça problema. Estas situações geram uma grande curiosidade que convida à prática do jogo e a tentar compreender a sua lógica; chegamos ao ponto em que, como em muitas situações análogas, o jogo encontra a Matemática.

Descrição dos puzzles

O universo dos puzzles de metal oferece uma rica variedade de jogos com estruturas e formas diferentes. Vamos apenas focar a nossa atenção num grupo de puzzles que compartilham o mesmo tipo de solução. O representante canônico deste grupo de puzzles será o que podes observar na figura 1.

Na figura2 estão representados outros puzzles do mesmo tipo.
Selecionei este grupo de puzzles para estudá-los do ponto de vista didático por considerar que as destrezas necessárias à sua resolução são pré-requisitos para a resolução de grande parte dos puzzles de metal. A estrutura suporte destes puzzles é comum a uma grande variedade de puzzles e algumas delas estão muito difundidas.

Em todos os puzzles da figura 2 é apresentada uma situação como a seguinte: Na estrutura suporte, que à primeira vista parece formar um cerco sem saída, podemos encontrar certos locais críticos por onde a peça problema pode escapar. Esses locais encontram-se em sectores da estrutura suporte a que chamarei "anel base" e "anel travão" ( figura 3).

A adequada disposição destes sectores configura um espaço pelo qual a peça problema pode libertar-se da estrutura suporte, mediante uma sequência de movimentos que, neste caso, é a seguinte: Deslizar a peça problema ao longo do segmento base, introduzir parcialmente a peça problema no anel travão, rodear o anel base e voltar a sair do anel travão (figura 4).

À disposição das peças da estrutura suporte e ao movimento da peça problema para se libertar chamo solução tipo e constitui, com as devidas particularidades, uma característica comum a todos os puzzles apresentados na figura 2.
Na solução tipo deste conjunto de puzzles radica precisamente a relação entre eles e os conhecimentos matemáticos, dado que os puzzles de metal podem ser definidos como "estruturas topológico-métricas", a possibilidade de resolução deste tipo de puzzles requer que se cumpram determinadas condições ao nível da sua estrutura, que remetem para conhecimentos no âmbito da topologia e da geometria.

Os puzzles de metal como estruturas topológico/métricas

A natureza topológica dos puzzles, isto é, a forma como as peças se interlaçam, é de capital importância para a sua caracterização. Além dos aspectos topológicos temos que ter em conta aspectos relacionados com a forma e a medida das peças, uma vez que o material de que são feitos é rígido e as regras para a resolução destes jogos não permitem deformações como as que são permitidas nas transformações topológicas.

Aspectos topológicos

A topologia é o ramo da Matemática que estuda as propriedades do espaço que permanecem inalteradas quando neste se produzem determinadas alterações chamadas transformações topológicas.
Do conjunto de transformações topológicas possíveis, os alongamentos(estiramentos), as contrações e as torções designam-se por transformações contínuas, uma vez que não se produzem cortes nem auto-intersecções.
Os puzzles de metal não admitem estas transformações, mas por momentos, tomarei a liberdade de imaginá-los flexíveis para melhor analisar a sua estrutura. A impressão de que estes puzzles são estruturas fechadas fica a dever-se à rigidez do material com que foram construídos. Para ver isto de uma forma mais clara, tomemos como exemplo um dos puzzles da figura 2 e imaginemos que as suas peças são elásticas (figura 5).

Isto permitiria separar as suas peças mediante transformações topológicas contínuas e comprovar que se trata de uma estrutura composta por peças individuais e independentes que não se encadeiam.

Poderíamos dizer, em certo sentido, que a peça problema, na posição inicial do jogo, já se encontra separada da estrutura suporte, uma vez que os estado inicial do puzzle da figura 5 é topologicamente equivalente ao estado final, ao qual se chegou sem necessidade de fazer qualquer corte de segmentos.

Esta é uma condição topológica necessária para que um puzzle de metal possa ser resolvido. Um dos puzzles da figura 6 não cumpre esta condição logo não pode ser resolvido. Qual deles é?

Geometria dos puzzles de metal

A análise topológica feita anteriormente não explica tudo o que diz respeito aos puzzles de arame. Há aspectos geométricos determinantes na elaboração e resolução destes puzzles.
A geometria é o ramo da Matemática que se encarrega do estudo das formas e das medidas.
Neste caso, as peças dos puzzles têm formas e medidas que devem verificar certa relação entre elas, de modo a cumprir uma dupla função: determinar o grau de dificuldade do puzzle e fazer com que a sua resolução seja possível. Veremos estes aspectos geométricos tomando como exemplo o puzzle da figura 7.

As restrições geométricas (figura 8) que impedem uma solução trivial são: a) O diâmetro do anel base deve ser maior ou igual ao diâmetro do anel travão. Isto impede que a estrutura suporte se possa desmontar. b) O diâmetro maior da peça problema deve ser maior ou igual ao diâmetro do anel travão. Isto impede a saída da peça problema por simples deslizamento da mesma.

Agora veremos as relações geométricas que permitem que o puzzle tenha solução (Figura 9). Estas encontram-se directamente relacionadas com os movimentos necessários para libertar a peça problema e estabelecem-se entre um determinado sector da peça problema, que denominarei por sector chave, e o ponto crítico da estrutura suporte.

a) A forma e as dimensões do sector chave da peça problema devem permitir a passagem pelo anel travão.
b) O comprimento do sector chave da peça problema deve ser maior que a distância que existe entre o anel travão e os extremos salientes do anel base.
c) A forma e as dimensões do anel base devem permitir que esse anel possa passar pelo interior do sector chave da peça problema.
Estas três condições geométricas que permitem que o puzzle tenha solução devem verificar-se simultaneamente, se uma delas não se cumprir o puzzle não tem solução, é geometricamente impossível.
Os puzzles apresentados na figura 2, apesar de terem formas diferentes, respeitam estas três condições.
Apresentadas as condições topológicas e geométricas para a construção e resolução dos puzzles de metal, é possível combiná-las de forma criativa para obter novos modelos de puzzles ou explorar possíveis soluções de puzzles complexos a partir de outros mais simples.

Assegurando que se mantêm as relações geométricas entre o sector chave da peça problema e o ponto crítico da estrutura suporte, um puzzle pode tomar diferentes formas, mediante transformações contínuas, sem que se altere a solução chave (figura 10).

Para ilustramos um pouco mais, apresentamos outras estruturas de arames, a seguir: